Теоретически данную задачу можно решать аналитически. Одна­ко практически этот путь малопродуктивен вследствие сложности аналитических моделей, описывающих данное явление. Поэтому в настоящее время при решении подобных задач используются методы дискретного моделирования, когда деталь сложной кон­фигурации представляется системой геометрически простых элемен­тов, в пределах которых связь между условиями на их границе и характеристикой поля описывается математически, а граничные условия на «входе» идентифицируются по аналогичным парамет­рам на «выходе» соседнего элемента. Реализация данного подхода требует большого объема вычислительных работ и стала доступной для практического использования в результате развития современ­ной вычислительной техники.

Наибольшее распространение в практике двигателестроения по­лучили методы конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ).

В первом случае решают дифференциальные уравнения с задан­ными граничными условиями. Во втором случае (МКЭ) минимизи­руется интегральная величина, связанная с соответствующим диф­ференциальным уравнением.

При определении поля перемещений в системе минимизируется потенциальная энергия рассматриваемой системы. Для моделирования распределения напряжений минимизируют дополнительную работу системы. При определении поля температур минимизирует­ся функционал, описывающий перенос теплоты.

При использовании МКЭ анализируемую непрерывно изменя­емую величину в детали двигателя (температуру, давление, переме­щение) аппроксимируют дискретной моделью, которая описывается множеством кусочно-непрерывных функций, определенных на ко­нечном числе подобластей — элементов. Совокупность данных эле­ментов формирует рассматриваемую систему. Элементы в зависи­мости от их конфигурации и типа задачи (одно-, двух-, трехмерной) взаимодействуют между собой в точках, по линиям и поверхностям. Значения анализируемой величины рассчитывают в конечном числе точек (узлах) рассматриваемой области дискретной модели, а за­тем, используя известные свойства кусочно-непрерывных функций (функций формы, которые обычно задаются в виде полиномов), находят значения данной величины в любой точке элемента.

В качестве элементов используют фигуры достаточно простой формы, кусочно-непрерывные функции, которые однозначно описы­ваются в элементе по их значениям в узловых точках.

Исходя из этого, при построении конечно-элементной модели решается следующий комплекс задач.

1. В исследуемой детали задают конечное число узловых точек. Они выбираются в тех местах, в которых целесообразно задать пораничные условия, а также там, где необходимо детально описать конфигурацию детали или определить исследуемую величину.